Question

13．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20时，车流速度v为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）

Answer 1

分析 （1）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（2）先在0≤x≤20上，车流量函数为增函数，得最大值为v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，车流量函数为二次函数，然后根据二次函数的最大值问题解答．

解答 解：（1）由题意：当0≤x≤20时，v=60，
当20＜x≤200时，设v=kx+b，
根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{200k+b=0}\\{20k+b=60}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{200}{3}$，
所以，函数解析式为v=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{200}{3}$，
故车流速度v关于x的解析式为v=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤20}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}，20＜x≤200}\end{array}\right.$；
（2）依题并由（1）可得车流量v（x）=60x（0≤x＜20），
v（x）=x（-$\frac{1}{3}$x+$\frac{200}{3}$）=-$\frac{1}{3}$（x-100）²+$\frac{10000}{3}$，（20≤x≤200），
当0≤x＜20时，v（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200，
当20≤x≤200时，当x=100时，v（x）最大，最大值为=$\frac{10000}{3}$≈3333，
综上所述，当x=100时，最大值约为3333．
答：（1）函数v关于x的解析式为v=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤20}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}，20＜x≤200}\end{array}\right.$；
（2）x=100时，最大值约为3333．

点评 本题主要考查一次函数的应用、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．