Question

5．在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（Ⅱ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\frac{PQ}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，得到CD∥平面PAB，由此利用平面PAB∩平面PCD=m，能证明CD∥m．
（Ⅱ）设$\frac{PQ}{PB}=λ$，以A为原点，AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$\frac{PQ}{PB}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB∥CD，CD?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PAB，
∵CD?平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，
∴CD∥m．…（4分）
（Ⅱ）解：设$\frac{PQ}{PB}=λ$，∵AB⊥AD，PD⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 Q（x，y，z），直线QC与平面PAC所成角为θ，$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB}$，0≤λ≤1，
由已知得P（0，0，2），B（2，0，0），C（1，$\sqrt{2}$，0），
∴（x，y，z-2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），
∴Q（2λ，0，-2λ+2），…（6分）
∴$\overrightarrow{CQ}$=（2λ-1，-$\sqrt{2}$，-2λ+2），…（7分）$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=a+\sqrt{2}b=0}\end{array}\right.$．取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-1，0$），…（9分）
∵直线QC与平面PAC所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴tan$θ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CQ}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CQ}|}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴|$\frac{\sqrt{2}（2λ-1）+\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{（2λ-1）^{2}+2+（-2λ+2）^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$λ=\frac{7}{12}$．…（11分）
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{7}{12}$．…（12分）

点评 本题考查两直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．