题目内容
8.已知不等式|x-2|>3的解集与关于x的不等式x2-ax-b>0的解集相同.(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{44-x}$的最大值.
分析 (1)求出不等式|x-2|>3的解集,即得不等式x2-ax+b>0的解集,利用一元二次方程根与系数的关系求出 a和b的值,
(2)根据柯西不等式即可求出最大值.
解答 解:(1)不等式|x-2|>3的解集为{x|x<-1或x>5},所以不等式x2-ax-b>0的解集为{x|x<-1或x>5},
所以-1,5是方程x2-ax-b=0的两根,所以$\left\{\begin{array}{l}{1+a-b=0}\\{25-5a-b=0}\end{array}\right.$,解得a=4,b=5.
(2)函数f(x)=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{44-x}$的定义域为[3,44],由柯西不等式得:
[f(x)]2=(4$\sqrt{x-3}$+5$\sqrt{44-x}$)2≤[(16+25)(x-3+44-x)]2,.
又因为f(x)≥0,所以f(x)≤4,当且仅当5$\sqrt{x-3}$=4$\sqrt{44-x}$时等号成立,
即x=$\frac{779}{41}$时,f(x)=41.所以函数f(x)的最大值为41.
点评 本题主要考查绝对值不等式的解法,一元二次方程根与系数的关系,以及柯西不等式,考查转化能力,属于中档题.
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