Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，连接.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)根据底面是矩形,平面,以为坐标原点建立空间直角坐标系,再证明即可.

(2)根据(1)中建立的空间直角坐标系,分别求出与平面的法向量,再利用空间向量解决线面夹角问题即可.

（1）因为平面,平面,所以,.

又四边形是矩形,所以,故两两垂直.

以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,

则,,,,.因为是的中点,所以,

又,,所以,所以.

（2）由（1）可知,

设平面的一个法向量为,则所以

不妨取,则,. 所以是平面的一个法向量.

设平面和直线所成角为,

则,

故平面和直线所成角为.