Question

【题目】设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，．

（1）证明数列为等比数列并求出通项公式；

（2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】

（1）根据导数的几何意义可求得以点为切点的切线方程，代入可求得，由此可得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得结果；

（2）根据向量数量积的坐标运算可求得，利用错位相减法可求得结果.

（1）证明：函数，，

以点为切点的切线方程为：，

当时，，即，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列,.

（2）解：由题意得：，

，

…①，

则…②，

①②得：，

.