Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆上，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的左、右顶点分别为，过点或作一条直线交椭圆于、（不与重合）两点，直线交于点，记直线的斜率分别为.

①对于给定的，求的值；

②是否存在一个定值使得恒成立，若存在，求出值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在,.

【解析】

（1）结合点在椭圆上和椭圆的离心率可解得，，进而写出椭圆的标准方程；

（2）①利用点斜式写出直线和的方程分别为和，再分别与椭圆联立，结合韦达定理，可求得，，然后利用、、三点共线时，任意两点构成的直线斜率相等来构造等式即可得解，需要注意的是验证不符合题意；

②联立直线和的方程可解得点，再利用、两点的坐标表示出直线的斜率，然后结合①中得到的结论，计算化简可得到，进而得解．

（1）根据题意，离心率，解得，，

所以椭圆的标准方程；

（2）①因为椭圆的左、右顶点分别为，，所以，，

因为直线，的斜率分别为，，所以直线和的方程分别为和，

设，的坐标分别为，，，，

联立得，，

则，即，

解得，，所以．

同理可得，点的坐标为．

因为、、三点共线，所以，即，

化简得．

所以或，即或．

当时，此时点位于椭圆的上或下顶点，即、分别与，重合，与题干矛盾，故舍去．

综上，对于给定的，．

②由①知直线和的方程分别为和，

联立可解得点的坐标为，

因为点，所以，

化简得，

由①的结论可知，所以，将其代入上式，

化简整理后可得，，

故存在定值使得恒成立，且．