Question

11．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-3lnx（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求a值及f（x）的单调区间；
（2）当a=-2时，求f（x）在区间[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，计算f（e），f（1）的大小，求出f（x）的最大值即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）由题有f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，
所以由x=3是函数f（x）的一个极值点得f′（3）=1-$\frac{a}{9}$-1=0，解得：a=0，
此时f′（x）=1-$\frac{3}{x}$=$\frac{x-3}{x}$，
所以，当x＞3时，f′（x）＞0；当0＜x＜3时，f′（x）＜0，
即函数f（x）在（3，+∞）单调递增；在（0，3）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（3，+∞），单调递减区间为（0，3）；
（2）因为a=-2，所以f（x）=x-$\frac{2}{x}$-3lnx，
f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
所以，当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞）；单调递减区间为（1，2），
又x∈[1，e]，所以f（x）在[1，2]递减，在[2，e]递增，
所以f（x）的最小值f（x）_min=f（2）=1-3ln2，
又f（1）=-1，f（e）=e-$\frac{2}{e}$-3及f（e）-f（1）=e-$\frac{2}{e}$-2＜2.72-$\frac{2}{2.72}$-2=$\frac{1.9584-2}{2.72}$＜0，
所以f（x）的最大值为f（x）_max=f（1）=-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．