Question

2．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如下表所示：

规格类型 袋装大米类型	A	B
甲	2	1
乙	1	3

已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋．
（Ⅰ）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？（要求画出可行域）
（Ⅱ）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x、y，所用的袋装大米的总袋数为 z，建立目标函数和约束条件，利用线性规划的知识进行求解．
（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x、y，所用的袋装大米的总袋数为 z
则 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{0≤x≤5}\\{0≤y≤10}\end{array}\right.$；（3分）
z=x+y，（x，y为整数）．（4分）
作出可行域D如图．（6分）
从图中可知，可行域D的所有整数点为：（3，9），（3，10），（4，8），（4，9），（4，10），（5，8），（5，9），（5，10），
共8点．（8分）
因为目标函数为 z=x+y，（x，y为整数），所以在一组平行直线x+y=t（t为参数）中，
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12，其经过的整点是（3，9）和（4，8），它们都是最优解．（9分）
所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为 袋、袋或 袋、袋可使所用的袋装大米的袋数最少．（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$．（12分）

点评 本题主要考查线性规划的应用问题以及古典概型的计算，利用数形结合是解决本题的关键．