Question

13．设等比数列{a_n}前n项和为S_n，若S₃+S₆=2S₉，证明a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer 1

分析 由S₃+S₆=2S₉，利用等比数列的前n项和公式得到q³=-$\frac{1}{2}$，由此能证明a₂，a₈，a₅成等差数列．

解答 证明：若等比数列{a_n}公比q=1，则S₃+S₆=9a₁，
而2S₉=18a₁，与S₃+S₆=2S₉矛盾，
∴q≠1，
∵S₃+S₆=2S₉，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$，
整理，得2q⁹-q⁶-q³=0，
解得${q}^{3}=-\frac{1}{2}$或q³=1，
∵q≠1，∴q³=-$\frac{1}{2}$，
∴a₂+a₅=a₂+a₂q³=a₂-$\frac{1}{2}$a₂=$\frac{1}{2}$a₂ a₈=a₂q⁶=a₂（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$a₂
∴a₂+a₅=2a₈，∴a₂，a₈，a₅成等差数列．

点评 本题考查等差数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．