Question

已知函数f(x)=

3

a

x3-x(a＞0)在点（x₁，f（x₁））处的切线在x轴上的截距为x₂，则当x1＞

a 3

时，

x2

x1

的取值范围是

(

2

3

，1)

．

Answer 1

分析：已知函数f(x)=

3

a

x3-x(a＞0)，对f（x）进行求导，求出f（x）在x=x₁处的导数，根据点斜式求出切线方程，求出截距x₂，再利用不等式进行求解；

解答：解：∵已知函数f(x)=

3

a

x3-x(a＞0)，
∴f′（x）=

9

a

x2- 1，a＞0，
∵在点（x₁，f（x₁））处的切线，
∴切线斜率为：k=f′（x）|_x=x1=f′（x₁）=

9

a

x

2 1

-1，
切线方程：y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁），
∴令y=0，得x₂=x₁-

f(x1)

k

=x₁-

3 a x 3 1 -x1

9 a x 2 1 -1

=

6 a x 3 1

9 a x 2 1 -1

，
∴y=

x2

x1

=

6 a x 2 1

9 a x 2 1 -1

=

6 a

9 a - 1 x 2 1

，当x1＞

a 3

时，y为减函数，
∴y＜f（

a 3

）=1，
又∵y=

x2

x1

=

6 a x 2 1

9 a x 2 1 -1

=

6 a

9 a - 1 x 2 1

＞

6 a

9 a

=

2

3

，
∴

2

3

＜

x2

x1

＜1，
故答案为：(

2

3

，1)；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的切线方程，主要利用了不等式的放缩，还间接考查函数的单调性问题，此题是一道好题；