Question

4．已知p：关于t的不等式t²-（a+2）t+2a≤0的解，q：关于x的方程x²-tx+t-$\frac{3}{4}$=0最多只有一个实根
（1）若p不是q的充分条件，求实数a的取值围；
（2）当a=0时，若p∨q，￢p∨￢q都是真命题，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出关于p，q成立的t的范围，根据p不是q的充分条件，即p?q，从而求出a的范围；
（2）将a=0代入不等式，解出关于p中t的范围，通过讨论p，q的真假，求出t的范围即可．

解答 解：（1）关于p：解关于t的不等式t²-（a+2）t+2a≤0
（t-2）（t-a）≤0，
a＞2时：2≤t≤a，
a≤2时：a≤t≤2，
关于q：关于x的方程x²-tx+t-$\frac{3}{4}$=0最多只有一个实根，
则△=t²-4（t-$\frac{3}{4}$）=t²-4t+3≤0，解得：1≤t≤3，
若p不是q的充分条件，即p?q，
a＞2时：a＞3．a≤2时：a＜1，
故：a＜1或a＞3；
（2）a=0时：关于t的不等式t²-（a+2）t+2a≤0，
即t²-2t≤0，解得：0≤t≤2，
∴p：0≤t≤2，q：1≤t≤3，
若p∨q，￢p∨￢q都是真命题，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{0≤t≤2}\\{t＞3或t＜1}\end{array}\right.$，解得：0≤t＜1，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{t＜0或t＞2}\\{1≤t≤3}\end{array}\right.$，解得：2＜t≤3，
综上：t∈[0，1）∪（2，3]．

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，二次函数的性质，是一道中档题．