Question

2．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）以椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）的焦点F₁，F₂为顶点，且以椭圆C₂的右顶点A为一个焦点，它的一条渐近线与椭圆C₂交于P，Q，若$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$=0，则双曲线C₁的离心率e满足（　　）

• A． e²=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• B． e²=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． e²=$\frac{3}{2}$
• D． e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由条件可得a²=m²-n²，m²=a²+b²，可得n²=b²，将椭圆方程化为b²x²+c²y²=b²c²，求出双曲线的一条渐近线方程代入椭圆方程，求得P的坐标，又A（c，0），由向量垂直的条件，即两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得e的方程，解方程即可得到所求值．

解答 解：由题意可得a²=m²-n²，m²=a²+b²，
可得n²=b²，
则椭圆方程化为b²x²+（a²+b²）y²=b²（a²+b²），
即b²x²+c²y²=b²c²，
由双曲线的一条渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，代入椭圆方程可得，
（b²+c²•$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）x²=b²c²，
解得x=±$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，
可取P（$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$），又A（c，0），
若$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$=0，则$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，
可得k_AP=-$\frac{a}{b}$，
即为$\frac{\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}}{\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}-c}$=-$\frac{a}{b}$，
化为c²=a$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
两边平方可得c⁴=a⁴+a²c²，
两边同除以a⁴，结合e=$\frac{c}{a}$，可得
e⁴-e²-1=0，
解得e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（负的舍去）．
故选：D．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率求法，注意运用方程思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．