题目内容

6.(1)函数f(x)=sinx•cos$\frac{x}{2}$,g(x)=cosx•sin$\frac{x}{2}$,那么[$\frac{π}{2}$,$\frac{3}{4}π$]是函数f(x)-g(x)的一个单调减区间;
(2)对于f(x)=sinx,若α为第一象限角,则f(α)+f($\frac{π}{2}$-α)>1;
(3)曲线y=cos(2x-$\frac{π}{6}$)的一条对称轴方程是x=-$\frac{2}{3}$π;
(4)函数y=sin4x+cos2x的最小正周期是π;
(5)函数y=tan($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$)图象的一个对称中心是($\frac{5}{3}$π,0).
其中正确命题的序号是(2)(4)(5).(将你认为正确的都填上)

分析 化简函数解析式,利用三角函数的性质判断.

解答 解:(1)f(x)-g(x)=2sin$\frac{x}{2}$cos2$\frac{x}{2}$-(cos2$\frac{x}{2}$-sin2$\frac{x}{2}$)sin$\frac{x}{2}$=cos2$\frac{x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+sin3$\frac{x}{2}$=sin$\frac{x}{2}$.
当x∈[$\frac{π}{2}$,$\frac{3}{4}π$]时,$\frac{x}{2}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{8}$]⊆[0,$\frac{π}{2}$],
∴f(x)-g(x)在[$\frac{π}{2}$,$\frac{3}{4}π$]上单调递增,故(1)错误.
(2)f(α)+f($\frac{π}{2}-α$)=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin($α+\frac{π}{4}$).
当α是第一象限角时,2kπ$<α<\frac{π}{2}+2kπ$,∴$\frac{π}{4}+2kπ<$$α+\frac{π}{4}$<$\frac{3π}{4}+2kπ$.
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}<$sin($α+\frac{π}{4}$)≤1.∴1<$\sqrt{2}$sin($α+\frac{π}{4}$)$≤\sqrt{2}$.故(2)正确.
(3)当x=-$\frac{2π}{3}$时cos(2x-$\frac{π}{6}$)=cos$\frac{3π}{2}$=0,
∴f(x)=cos(2x-$\frac{π}{6}$)不关于直线x=-$\frac{2π}{3}$对称,故(3)错误.
(4)函数y=sin4x+cos2x=sin4x-sin2x+1,令t=sin2x,则y=t2-t+1.
∵t=sin2x的最小正周期是π,∴y=sin4x+cos2x的周期为π,故(4)正确.
(5)当x=$\frac{5π}{3}$时,$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,($\frac{5}{3}$π,0)是y=tan($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$)图象的一个对称中心,故(5)正确.
故答案为(2)(4)(5).

点评 本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的性质,属于中档题.

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