Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n+n-3，n∈N*
（1）证明数列{a_n-1}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n+n-3，n∈N^*，得S_n-1=2a_n-1+n-1-3，两式相减，得a_n=2a_n-1-1，由此能证明数列{a_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．并能求出{a_n}的通项公式．
（2）由na_n=n•2^n-1+n，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{na_n}的前n项和．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n+n-3，n∈N^*，①
a₁=S₁=2a₁+1-3，解得a₁=2，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1-3，②
①-②，得a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
又a₁-1=1，
∴数列{a_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
∴${a}_{n}-1=1×{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}+1$．
解：（2）∵na_n=n•2^n-1+n，
∴数列{na_n}的前n项和：
T_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n×2^n-1+（1+2+3+…+n）
=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n×2^n-1+$\frac{n（n+1）}{2}$，③
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+n（n+1），④
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n•{2}^{n}-\frac{n（n+1）}{2}$
=$（1-n）×{2}^{n}-1-\frac{n（n+1）}{2}$，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．