题目内容
19．
如图，60°的二面角棱上有A′，B′两点，直线AA′，BB′分别在这个二面角的半平面内，且都垂直于A′B′，已知A′B′=3，AA′=3，BB′=5，则AB的长度为2$\sqrt{7}$．
分析 由已知得${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}B}$）2=${\overrightarrow{A{A}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{B}^{'}B}}^{2}$+2|$\overrightarrow{A{A}^{'}}$|×|$\overrightarrow{{B}^{'}B}$|×cos120°，由此能求出AB的长度．
解答 解：∵60°的二面角棱上有A′，B′两点，
直线AA′，BB′分别在这个二面角的半平面内，且都垂直于A′B′，
A′B′=3，AA′=3，BB′=5，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}B}$）2=${\overrightarrow{A{A}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{B}^{'}B}}^{2}$+2|$\overrightarrow{A{A}^{'}}$|×|$\overrightarrow{{B}^{'}B}$|×cos120°
=9+9+25-2×$3×5×\frac{1}{2}$=28，
∴AB的长度为|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．
点评 本题考查空间中两点间距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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| P | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | a |
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