Question

8．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）众数：8.6； 中位数：$\frac{8.7+8.8}{2}$．
（2）设A_i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{∁}_{12}^{3}}{{∁}_{16}^{3}}$+$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{12}^{2}}{{∁}_{16}^{3}}$．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B$（3，\frac{1}{4}）$，P（ξ）=${∁}_{3}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答 解：（1）众数：8.6；    中位数：$\frac{8.7+8.8}{2}$=8.75．
（2）设A_i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{∁}_{12}^{3}}{{∁}_{16}^{3}}$+$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{12}^{2}}{{∁}_{16}^{3}}$=$\frac{121}{140}$．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．
ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B$（3，\frac{1}{4}）$，P（ξ）=${∁}_{3}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．
∴E（ξ）=$3×\frac{1}{4}$=0.75．

点评 本题考查了茎叶图及其应用、互斥事件概率计算公式、二项分布列及其概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．