Question

19．计算：
（1）1+i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰；
（2）$\frac{（2+2i）^{12}}{（-1+\sqrt{3}i）^{9}}$+$\frac{{（-2\sqrt{3}+i）}^{100}}{{（1+2\sqrt{3}i）}^{100}}$．

Answer 1

分析 （1）由虚数单位的性质把1+i+i²+i³+…i²⁰¹⁰等价转化为1+（i-1-i+1）+（i-1-i+1）+…（i-1-i+1）+i-1，由此能够求结果；
（2）计算（2+2i）¹²=2¹²•（1+i）¹²=2¹²•[（1+i）²]⁶，再由“1”的立方虚根的幂的运算性质化简分母，由复数代数形式的乘除运算化简$\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}$，进一步计算则答案可求．

解答 解：（1）1+i+i²+i³+…i²⁰¹⁰
=1+（i-1-i+1）+（i-1-i+1）+…（i-1-i+1）+i-1
=1+i-1=i．
（2）$\frac{（2+2i）^{12}}{（-1+\sqrt{3}i）^{9}}$+$\frac{{（-2\sqrt{3}+i）}^{100}}{{（1+2\sqrt{3}i）}^{100}}$=$\frac{{2}^{12}•（1+i）^{12}}{{2}^{9}•（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{9}}+（\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}）^{100}$=$\frac{-{2}^{18}}{{2}^{9}}+{i}^{100}=-{2}^{9}+1=-511$．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，考查了虚数单位的性质和应用以及“1”的立方虚根的幂的运算性质，是基础题．