Question

9．已知a，b∈R，且e^x≥a（x-1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}{e^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{e^3}$
• D． e³

Answer 1

分析 先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答 解：令f（x）=e^x-a（x-1）-b，则f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b≥-b≥0，得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，x→-∞，此时f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，由f′（x）=e^x-a=0，得极小值点x=lna，
由f（lna）=a-alna+a-b≥0，得b≤a（2-lna），
ab≤a²（2-lna）．
令g（a）=a²（2-lna）．
则g′（a）=2a（2-lna）-a=a（3-2lna）=0，得极大值点a=${e}^{\frac{3}{2}}$．
而g（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{1}{2}{e}^{3}$．
∴ab的最大值是$\frac{1}{2}{e}^{3}$．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论思想，是中档题．