Question

19．设S（n），T（n）分别为等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和，且$\frac{S（n）}{T（n）}$=$\frac{3n+2}{4n+5}$．设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{{{a_1}+{a_4}}}{b_3}$•$\overrightarrow{AB}$+λ•$\overrightarrow{AC}$，则实数λ的值为$-\frac{3}{25}$．

Answer 1

分析 由等差数列的通项公式可知：$\frac{S（n）}{T（n）}$=$\frac{3n+2}{4n+5}$=$\frac{\frac{（3n+2）n}{2}}{\frac{（3n+2）n}{2}}$，分别求得S（n）=$\frac{（3n+2）n}{2}$，T（n）=$\frac{（4n+5）n}{2}$，由平面向量的基本定理可知：$\frac{{a}_{1}+{a}_{4}}{{b}_{3}}$+λ=1，分别求得a₁+a₄和b₃，求得$\frac{{a}_{1}+{a}_{4}}{{b}_{3}}$=$\frac{28}{25}$，即可求得实数λ的值．

解答 解：S（n），T（n）分别为等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和，
由等差数列前n项和公式可知：$\frac{S（n）}{T（n）}$=$\frac{3n+2}{4n+5}$=$\frac{\frac{（3n+2）n}{2}}{\frac{（3n+2）n}{2}}$，
∴S（n）=$\frac{（3n+2）n}{2}$，T（n）=$\frac{（4n+5）n}{2}$，
∵P是直线BC上一点，
∴$\overrightarrow{BP}$=k$\overrightarrow{BC}$，k∈R，
∴$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$=k（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（1-k）$\overrightarrow{AB}$+k$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{{{a_1}+{a_4}}}{b_3}$•$\overrightarrow{AB}$+λ•$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{4}}{{b}_{3}}$+λ=1，
由S₄=$\frac{4×（{a}_{1}+{a}_{4}）}{2}$=2（a₁+a₄），
∴a₁+a₄=$\frac{1}{2}$×S₄=14，
b₃=$\frac{1}{2}$×（b₁+b₅）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2{T}_{5}}{5}$=$\frac{25}{2}$，
∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{4}}{{b}_{3}}$=$\frac{28}{25}$，
λ=1-$\frac{28}{25}$=$-\frac{3}{25}$，
故答案为：$-\frac{3}{25}$．

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列前n项公式，考查平面向量的基本定理及其意义，考查计算能力，属于中档题．