Question

如图，已知三棱锥的侧棱、、两两垂直，且，，是的中点.

（1）求点到面的距离；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）解法一是利用等体积法求出点到平面的距离，具体做法是：先利用、、两两垂直以及它们的长度计算出三棱锥的体积，然后将此三棱锥转换成以点为顶点，以所在平面为底面的三棱锥通过体积来计算点到平面的距离；解法二是直接利用空间向量法求点到平面的距离；（2）解法一是通过三垂线法求二面角的正弦值，即在平面内作，垂足为点，连接、，证明，，从而得到为二面角的平面角，再选择合适的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空间向量法求二面角的余弦值，进而求出它的正弦值.
试题解析：解法一：（1）如下图所示，取的中点，连接、，

由于，，且，
平面，平面，平面，
平面，，
，为的中点，，
，平面，平面，平面，
平面，，
，且，，
为的中点，，
平面，平面，，，
，
而，，
设点到平面的距离为，由等体积法知，，
即，即，即点到平面的距离为；
（2）如下图所示，过点在平面内作，垂足为点，连接，

，，，
平面，平面，平面，即平面，
平面，，又，，
平面，平面，平面，
平面，，
，，
，，，
同理可知，故二面角的平面角为，
，
在中，，
在中，，，，
由正弦定理得，，
即二面角的正弦值为；
解法二：（空间向量法）由于、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

（1）由上图知，，，，，
设平面的一个法向量为，，
，
，
，
令，可得平面的一个法向量为，而，
，，
设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为；
（2）设平面的一个法向量为，，，
，
，
令，可得平面的一个法向量为，
，，，
设二面角的平面角为，则为锐角，
且，，
即二面角的正弦值为.