题目内容

10．证明不等式：2a+2b-4＜ab，其中的a，b∈（0，2）．

分析 利用作差法，进行因式分解，即可证明结论．

解答 证明：∵a，b∈（0，2），
∴ab-2a-2b+4=（a-2）（b-2）＞0，
∴2a+2b-4＜ab．

点评 本题考查了“作差法”证明不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．

练习册系列答案
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20．若sin（π-α）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，且α是锐角，则tan2α=-$\frac{3}{4}$．
1．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取24名笔试者的成绩，如表所示：
分数段[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）
人数234951
据此估计允许参加面试的分数线大约是（　　）
A．90B．85C．80D．75
18．甲、乙、丙三个袋子中分别装有5个小球（这些球除颜色外都相同），甲袋中装有4个红球和1个绿球，乙袋中装有1个白球、3个红球和1个绿球，丙袋中装有2个白球和3个红球．
（Ⅰ）若从甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1个小球），求至少有两次抽到红球的概率；
（II）若从乙、丙两个袋子中各抽取2个小球，用ξ表示抽到的4个小球中白球的个数，求ξ的分布列及数学期望．
5．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC、CD上的点，且满足$\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{DN}|}{|\overrightarrow{DC}|}$=λ．
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，求向量$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$夹角的余弦值；
（2）求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围．
2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F，H分别是BC，PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设平面PAB∩平面PCD=l，求证：FH∥l；
（Ⅲ）设H是棱PD上的动点，若EH与平面PAD所成最大角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求二面角A-EF-G的平面角的余弦值．
9．圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为（　　）
A．30πB．48πC．66πD．78π
6．如图，若一个空间几何体的三视图，正视图和俯视图都是直角三角形，其直角边均为1，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（　　）
A．1+$\sqrt{2}$B．2+2$\sqrt{2}$C．$\frac{1}{3}$D．2+$\sqrt{2}$
7．一半径为R的半球挖去一圆柱后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．$\frac{{80\sqrt{5}π}}{3}$-16πB．$\frac{{160\sqrt{5}π}}{3}$-16πC．$\frac{{80\sqrt{5}π}}{3}$-8πD．$\frac{32π}{3}$

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