Question

18．甲、乙、丙三个袋子中分别装有5个小球（这些球除颜色外都相同），甲袋中装有4个红球和1个绿球，乙袋中装有1个白球、3个红球和1个绿球，丙袋中装有2个白球和3个红球．
（Ⅰ）若从甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1个小球），求至少有两次抽到红球的概率；
（II）若从乙、丙两个袋子中各抽取2个小球，用ξ表示抽到的4个小球中白球的个数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A表示事件“从甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1个小球），至少有两次抽到红球”，依题意知，每次抽到红球的概率为$\frac{4}{5}$，即可求至少有两次抽到红球的概率；
（II）ξ可能的取值为0，1，2，3．求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设A表示事件“从甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1个小球），至少有两次抽到红球”，依题意知，每次抽到红球的概率为$\frac{4}{5}$，…（2分）
∴P（A）=${C}_{3}^{2}•（\frac{4}{5}）^{2}•\frac{1}{5}+{C}_{3}^{3}•（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{112}{125}$．…（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}+$$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{12}{25}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$．…（9分）
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{9}{50}$+1×$\frac{12}{25}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{25}$=1.2…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．