题目内容
过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，则这个正三棱锥的侧面三角形的顶角为（ ）
| A、60° | ||
| B、90° | ||
| C、120° | ||
D、arccos
|
考点：球内接多面体
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：底面正三角形在球的大圆上，且圆心是正三角形的中心，从而求出底、高、侧棱长，利用余弦定理，即可得出结论．
解答：
解：设半径为R，由图可知，底面正三角形在球的大圆上，
则正三角形的高为
，边长为
R．正三棱锥的高为R．
则侧面三角形的底边长为
R，高为
=
R，侧棱长为
R；
设正三棱锥的侧面三角形的顶角为α，则cosα=
=
，
∴正三棱锥的侧面三角形的顶角为arccos
，
故选：D．
则正三角形的高为
| 3R |
| 2 |
| 3 |
则侧面三角形的底边长为
| 3 |
R2+(
|
| ||
| 2 |
| 2 |
设正三棱锥的侧面三角形的顶角为α，则cosα=
| 2R2+2R2-3R2 | ||||
2×
|
| 1 |
| 4 |
∴正三棱锥的侧面三角形的顶角为arccos
| 1 |
| 4 |
故选：D．
点评：考查了学生的空间想象力，及组合体中角的求法，比较基础．
练习册系列答案
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A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
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设集合A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩B=（ ）
| A、{1，2，3，4} |
| B、{1，2，2，3，4} |
| C、{2} |
| D、{1，3，4} |