题目内容
已知函数f（x）=2cos2x-
sin2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大时x的值和单调减区间；
（2）若α为第二象限角，且f(
-
)=
，求
的值．
| 3 |
（1）求f（x）的最大值及取得最大时x的值和单调减区间；
（2）若α为第二象限角，且f(
| α |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| cos2α |
| 1+cos2α-sin2α |
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的化简求值,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最值和单调区间；
（2）由（1）得f(
-
)=
=2cosα+1，所以cosα=-
，根据三角函数基本关系式求出sinα的值，再由倍角公式化简所求式子求值．
（2）由（1）得f(
| α |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：
解：由已知f（x）=2cos2x-
sin2x=cos2x-
sin2x+1=2cos（2x+
）+1，
所以（1）f（x）的最大值为3；
取得最大时2x+
=2kπ，所以x=kπ-
，k∈Z，
单调减区间为2kπ≤2x+
≤2kπ+π，所以kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z．
（2）由（1）得f(
-
)=
=2cosα+1，所以cosα=-
，α为第二象限角，所以sinα=
，
所以
=
=
=
=
．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以（1）f（x）的最大值为3；
取得最大时2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
单调减区间为2kπ≤2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）由（1）得f(
| α |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
所以
| cos2α |
| 1+cos2α-sin2α |
| 1-2sin2α |
| cos2α-2sinαcosα |
1-2×
| ||||||||
|
-
| ||||||
|
| -7 | ||
1+4
|
点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是掌握基本的三角函数的性质．
练习册系列答案
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若函数f（x）=min{3+log
x，log2x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小者，则f（x）＜2的解集为（ ）
| 1 |
| 4 |
| A、0＜x＜4或x＞4 |
| B、0＜x＜4 |
| C、x＞4 |
| D、0＜x＜3或x＞3 |
函数f（x）=lnx-1的零点所在的区间是（ ）
| A、（0，1） |
| B、（1，2） |
| C、（2，3） |
| D、（3，4） |
已知tan（α+β）=
，tan（α-
)=
=
，那么tan（β+
）=（ ）
| 2 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| π |
| 6 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，则这个正三棱锥的侧面三角形的顶角为（ ）
| A、60° | ||
| B、90° | ||
| C、120° | ||
D、arccos
|