Question

20．在平行四边形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=2，点P在CD上，且$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，∠BAD=$\frac{π}{4}$，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=6．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的坐标表示可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=8，以及向量加法和减法的三角形法则，计算即可得到所求值．

解答 解：由于$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠BAD
=4$\sqrt{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{3}{16}{\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{16}$×32-4+$\frac{1}{2}$×8=6．
故答案为：6．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的加法和减法的三角形法则，考查运算能力，属于基础题．