Question

y

A

(本小题满分12分)

F2

F1

如图，A为椭圆上

O

x

的一个动点，弦AB、AC分别过焦点

B

F₁、F₂。当AC垂直于x轴时，恰好

C

∶=3∶1.

(1)求该椭圆的离心率；

(2)设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

(1)

解析:

(1)当AC垂直于x轴时，∶=3∶1

y

由+=2a，得……2分

在Rt△AF₁F₂中，

F2

F1

B

O

C

A

【或由】   

x

解得……4分

(2)由，则，

，则椭圆方程为.

设，①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为，代入椭圆方程有

由韦达定理得：……7分

所以

故……9分

②若直线AC⊥x轴，    ∴……11分

综上所述：是定值6……12分