Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间
（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用偶函数的定义列出恒成立的等式，求出b的值；将点（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出g（x）的导函数，令导函数在x=1处的值为0，求出a的值；令g（x）的导函数大于0得到g（x）的单调递增区间，令导函数小于0得到g（x）的单调递减区间．
（II）求出g（x）的导函数，令导函数等于0有实根，令方程的判别式大于等于0求出a的范围．

解答：解：（I）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c
解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得2²+c=5，
有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
从而g′（x）=3x²+2ax+1，
因x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，
解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g′（x）=0，得x1=-1，x2=-

1

3

当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当x∈(-1，-

1

3

)时，g′（x）＜0，故g（x）在(-1，-

1

3

)上为减函数
当x∈(-

1

3

，+∞)时，g′（x）＞0，故g（x）在(-

1

3

，+∞)上为增函数
（Ⅱ）∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，
故有g′（x）=0有实数解．
即3x²+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a²-12≥0
解得a∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)
所以实数a的取值范围：a∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)

点评：解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义找关系；注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称；利用导数判断函数的单调性：导函数大于0则函数递增；导函数小于0则函数递减．