Question

函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数； ②存在[a，b]⊆D，（a＜b）使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称y=f（x）为闭函数．若f(x)=k+

x

是闭函数，则实数K的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据函数f(x)=k+

x

求出函数的定义域和单调性，根据函数的单调性求函数在[a，b]上的值域也是[a，b]，转化为一元二次方程有两个不等正实根，由一元二次方程有两个不等正实根的充要条件

△＞0 - b 2a ＞0 f(0)≥0

，求出实数K的取值范围．

解答：解：函数f(x)=k+

x

的定义域为[0，+∞），且是增函数；
若存在区间[a，b]∈[0，+∞） 符合条件，则a＜b
∴

k+ a =a k+ b =b

有解，
即方程k+

x

=x 有两个不相同的非负实数根．
设t=

x

，则t≥0，则k=x-

x

=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，
因为t≥0，所以要使方程有两个不同的实根，则-

1

4

＜k＜0，
∴实数k的取值范围为-

1

4

＜k＜0．
故答案为：-

1

4

＜k＜0．

点评：考查根据函数解析式求函数的定义域，单调性，和利用单调性求函数的值域，体现了转化和方程的思想方法，属中档题．