Question

4．学生在野营活动中，用直杆搭建一个支架进行野炊，如图1所示，已知PA=PB=PC=140cm，点C到A、B两点的距离相等，E、F、G、H分别是PA、PB、PC、EF的中点，直杆GH与底面ABC的距离为50cm．

（1）在图2中画出相应于图1的空间图形；三棱锥P-ABC及相关线段EF、GH；
（2）求PC与底面ABC所成角的大小（结果用反三角形式表示）；
（3）判断PC与EF是否互相垂直，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件作图；
（2）求出P到平面ABC的距离，则利用三角函数定义得出线面角的正弦值；
（3）取AB中点M，连结CM，PM，证明AB⊥平面PCM，EF∥AB即可得出结论．

解答 解：（1）作出空间图形如下：

（2）过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结OC，
则∠PCO为PC与平面ABC所成的角．
∵GH∥平面ABC，GH到平面ABC的距离为50，G是PC的中点，
∴P到平面ABC的距离为100，即PO=100，
∴sin∠PCO=$\frac{PO}{PC}=\frac{5}{7}$，
∴∠PCO=arcsin$\frac{5}{7}$．
（3）取AB中点M，连结CM，PM，
∵PA=PB，CA=CB，M是AB的中点，
∴CM⊥AB，PM⊥AB，
又PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PCM，又PC?平面PCM，
∴AB⊥PC，
∵E，F是PA，PB的中点，
∴EF∥AB，
∴PC⊥EF．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．