Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=n²+n．n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=n²+n．n=1时，a₁=S₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，n=1时也成立．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．