Question

已知焦距为2

6

的椭圆中心在原点O，短轴的一个端点为（0，

2

），点M为直线y=

1

2

x与该椭圆在第一象限内的交点，平行OM的直线l交椭圆与A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．由题意可得

2c=2 6 b= 2

，及a²=b²+c²，解得即可；
（II）联立

y= 1 2 x x2 8 + y2 2 =1 x＞0

，解得M（2，1）．设直线l的方程为y=

1

2

x+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用向斜率计算公式
k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

，计算分子=0即可．

解答： （I）解：设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
由题意可得

2c=2 6 b= 2

，及a²=b²+c²，解得b=

2

，a=2

2

．
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（II）证明：联立

y= 1 2 x x2 8 + y2 2 =1 x＞0

，解得

x=2 y=1

，即M（2，1）．
设直线l的方程为y=

1

2

x+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y= 1 2 x+m x2+4y2=8

，化为x²+2mx+2m²-4=0，
∴x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4．
∴k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

，
其分子=(

1

2

x1+m-1)(x2-1)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）
=0，
即k₁+k₂=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．