Question

14．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂₀₁₄＞0，S₂₀₁₅＜0，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…$\frac{{S}_{2014}}{{a}_{2014}}$中最大的是（　　）

• A． $\frac{S_1}{a_1}$
• B． $\frac{{{S_{1007}}}}{{{a_{1007}}}}$
• C． $\frac{{S}_{1008}}{{a}_{1008}}$
• D． $\frac{{S}_{2014}}{{a}_{2014}}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂₀₁₄＞0，S₂₀₁₅＜0，利用等差数列的前n项和公式可得：d＜0，a₁＞0，a₁₀₀₈＜0，a₁₀₀₇＞0．于是当n≤1007时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＞0；当n＞1007时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜0．当n≤1007时，d＜0，a₁＞0，a_n＞0，S_n在增大，而a_n在减小，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$单调递增，即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₂₀₁₄＞0，S₂₀₁₅＜0，
∴2014a₁+$\frac{2014×2013}{2}d$＞0，2015a₁+$\frac{2015×2014}{2}d$＜0，
化为2a₁+2013d＞0，a₁+1007d＜0，
∴d＜0，a₁＞0，
a₁₀₀₈＜0，a₁₀₀₇+a₁₀₀₈＞0，
∴a₁₀₀₇＞0．
∴当n≤1007时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＞0；当n＞1007时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜0．
由于当n≤1007时，d＜0，a₁＞0，a_n＞0，
∴S_n在增大，而a_n在减小．
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$单调递增，
因此$\frac{{S}_{1007}}{{a}_{1007}}$最大．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．