Question

14．设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x-a，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 先求出a，得到函数的解析式，然后求解函数f（x）的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：a为实数，函数f（x）=x³-x²-x-a，若函数f（x）过点A（1，0），
可得1-1-1-a=0，解得a=-1．
函数f（x）=x³-x²-x+1．
f′（x）=3x²-2x-1，
令f′（x）=0，则3x²-2x-1=0，
解得x₁=-1，x₂=$-\frac{1}{3}$．
列表如下：

x	-1	（-1，-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	递增	$\frac{38}{27}$	递减	0	递增	16

∴函数f（x）=x³-x²-x+1在x∈[-1，3]上的最大值为16，最小值为0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．