题目内容
函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;
(2)当f(x)+2＜logax,x∈(0,
)恒成立时,求a的取值范围.
解:(1)因为f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.
(2)由(1)知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x,即f(x)=x2+x-2.
任取x∈(0,),f(x)+2＜logax恒成立,即为任取x∈(0,
)时,f(x)-logax+2＜0恒成立,
在x∈(0,
)时,f(x)为增函数,-2＜f(x)＜
.
显然a＞1时,任取x∈(0,
),logax∈(-∞,-loga2),上式恒成立的不等式不可能.
当0＜a＜1时,任取x∈(0,
),logax∈(-loga2,+∞),即任取x∈(0,
)时,f(x)-logax+2＜
+loga2.
因为任取x∈(0,
),f(x)-logax+2＜0恒成立,
所以
所以
≤a＜1.
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