Question

1．已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x²上的点，直线l₁过点A，且与抛物线C相切．直线l₂：x=a（a≠-1）交抛物线C于点B，交直线l₁于点D．设△ABD的面积为S₁．
（1）求直线l₁的方程及S₁的值；
（2）设由抛物线C，直线l₁，l₂所围成的图形的面积为S₂，求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析 （1）先由y=2x²，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．由此能求出l₁的方程．由y=2x²及x=a，解得点B的坐标为（a，2a²）．由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a，-4a-2）．点A到直线BD的距离为|a+1|．由此能求出S₁的值．（2）当a＞-1时，S₁=（a+1）³，利用积分求出S₂，知S₁：S₂的值为与a无关的常数．

解答 解：（1）由y=2x²，得y'=4x．当x=-1时，y'=-4．
∴l₁的方程为y-2=-4（x+1），即4x+y+2=0．
由y=2x²及x=a，解得点B的坐标为（a，2a²）．
由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a，-4a-2）．
又可求得点A到直线BD的距离为|a+1|，|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²．
∴S₁=|a+1|³．…..（6分）
（2）由题意，当a＞-1时，S₁=（a+1）³，
${S_2}=\int_{-1}^a{（2{x^2}+4x+2）dx=（\frac{2}{3}{x^3}+2{x^2}+2x）\left|{_{-1}^a}\right.}$
=$\frac{2}{3}{a^3}+2{a^2}+2a+\frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}{（a+1）^3}$，
当a＜-1时，${S_2}=\int_a^{-1}{（2{x^2}+4x+2）dx}$=$-\frac{2}{3}{（a+1）^3}$，
∴S₁：S₂=3：2．…..（12分）

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意双曲线的性质、导数、定积分的灵活运用，合理地进行等价转化．