Question

9．已知数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N*，n≥2）且a₃=95．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求实数t，使得b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t）（n∈N*）且{b_n}为等差数列；
（3）在（2）条件下求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）当n=2时，a₂=3a₁+8，当n=3时，a₃=3a₃+3³-1=95，可得a₂=23，代入即可求得a₁=5；
（2）由等差数列的性质可知：b_n-b_n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t）-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$（a_n-1+t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t-3a_n-1-3t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（3ⁿ-1-2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值；
（3）由等差数列的通项公式可得b_n=$\frac{3}{2}$+（n-1）=n+$\frac{1}{2}$，求得a_n=（n+$\frac{1}{2}$）3ⁿ+$\frac{1}{2}$，采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）当n=2时，a₂=3a₁+8，
当n=3时，a₃=3a₃+3³-1=95，
∴a₂=23，
∴23=3a₁+8，
∴a₁=5；
（2）当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t）-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$（a_n-1+t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t-3a_n-1-3t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（3ⁿ-1-2t）．
要使{b_n}为等差数列，则必须使1+2t=0，
∴t=-$\frac{1}{2}$，
即存在t=-$\frac{1}{2}$，使数列{b_n}为等差数列．
（3）∵当t=-$\frac{1}{2}$，时，数列{b_n}为等差数列，且b_n-b_n-1=1，b₁=$\frac{3}{2}$，
∴b_n=$\frac{3}{2}$+（n-1）=n+$\frac{1}{2}$，
∴a_n=（n+$\frac{1}{2}$）3ⁿ+$\frac{1}{2}$，
于是，S_n=$\frac{3}{2}$×3+$\frac{5}{2}$3²+…+$\frac{2n+1}{2}$•3ⁿ+$\frac{1}{2}$×n，
令S=3×3+5×3²+…+（2n+1）•3ⁿ，①
3S=3×3²+5×3³+…+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S=3×3+3×3²+2×3³+…+2•3ⁿ-（2n+1）•3ⁿ⁺¹，②
化简得S=n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{n•{3}^{n+1}}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{n（{3}^{n+1}+1）}{2}$，
数列{a_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{n（{3}^{n+1}+1）}{2}$．

点评 本题考查等差数列性质及前n项和公式，考查分组求和及“错位相减法”的应用，考查计算能力，属于中档题．