Question

12．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若$4\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+6\overrightarrow{OC}=\vec 0$，则边长AB=3．

Answer 1

分析 由$4\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+6\overrightarrow{OC}=\vec 0$，得16R²+25R²+40R²cos∠AOB=36R²，即8cos∠AOB=-1，
由2∠ACB=∠AOB，得cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$⇒sin∠ACB=$\frac{3}{4}$
由$\frac{AB}{sin∠ACB}=2R=4$⇒AB=4sin∠ACB=3

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为R，因为$4\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+6\overrightarrow{OC}=\vec 0$，
所以$4\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}=-6\overrightarrow{OC}$，则16R²+25R²+40R²cos∠AOB=36R²，即8cos∠AOB=-1，
解得：cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$．
由2∠ACB=∠AOB，
2cos²∠ACB-1=cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$，则cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$⇒sin∠ACB=$\frac{3}{4}$
由$\frac{AB}{sin∠ACB}=2R=4$⇒AB=4sin∠ACB=3
故答案为：3

点评 本题考查向量的运算和三角形外心的性质和应用，二倍角公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量运算法则的灵活运用，属于中档题．