Question

20．已知函数f（x）=x²-3x+1，数列{a_n}（n∈N₊）是递增的等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+2，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}（n∈N₊）的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等差中项的得到关于x的方程，求出x的值，再求出数列的首项和公差，问题得以解决，
（2）知b_n=a_n+2=n，由$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，裂项求和即可得到数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}（n∈N₊）的前n项和

解答 解：（1）由题意：a₁+a₃=（x+1）³-3（x+1）+1+（x-1）³-3（x-1）+1=2a₂=0，
解得：x=1或x=2；
若x=2，则a₁=f（x+1）=1，a₂=0，a₃=f（x-1）=-1．（不合题意，舍去），
若x=1，则a₁=f（2）=-1，a₂=0，a₃=f（0）=1．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=-1+1×（n-1）=n-2，
（2）由（1）知b_n=a_n+2=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前项和为：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，“裂项相消法”求数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．