Question

设函数f（x）=x|x-2|，则当x∈（0，2）时，函数f（x）的最大值等于

 

，若x₀是函数g（x）=f（f（x））-1的所有零点中的最大值，且x₀∈（k，k+1）（k∈Z），则k=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：当x∈（0，2）时，配方法求最值；作函数的图象，故可得f（x₀）=1+

2

，从而由零点的判定定理判断位置．

解答： 解：当x∈（0，2）时，
f（x）=x|x-2|=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1；
作函数f（x）=x|x-2|的图象如下，

解x|x-2|=1得，
x=1或x=1+

2

；
又∵x₀是函数g（x）=f（f（x））-1的所有零点中的最大值，
∴f（x₀）=1+

2

；
且f（2）=0＜1+

2

，f（3）=3＞1+

2

；
故k=2．
故答案为：1，2．

点评：本题考查了复合函数的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．