题目内容
19．已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），a1=$\frac{1}{2}$，且对任意正整数n，都有an+1+SnSn+1=0，则a1+a20=（ ）| A． | $\frac{209}{420}$ | B． | $\frac{19}{21}$ | C． | $\frac{23}{42}$ | D． | $\frac{13}{42}$ |
分析 由an+1+SnSn+1=0可得Sn+1-Sn+SnSn+1=0，从而证明数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而解得．
解答 解：∵an+1+SnSn+1=0，
∴Sn+1-Sn+SnSn+1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
故数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=n+1，
故Sn=$\frac{1}{n+1}$，
故a1+a20=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{21}$-$\frac{1}{20}$=$\frac{209}{420}$，
故选：A．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及构造法的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{5}{6}π$ | B． | $\frac{2}{3}π$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
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| A． | 2 | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 4 |