Question

9．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；
（2）求证：BE∥平面PDA．
（3）求二面角A-PB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．
（2）由EC∥PD，得EC∥平面PDA，同时，有BC∥平面PDA，因为EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C，得到平面BEC∥平面PDA，进而有BE∥平面PDA．
（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-E的余弦值．

解答 解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：
证明：（2）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA，
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
解：（3）∵底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PC，且PD=AD=2EC=2，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），
$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PE}$=（0，2，-1），
设平面APB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=2a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
设二面角A-PB-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角A-PB-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查空间几何体的三视图，二面角的余弦值和线线，线面，面面平行关系的转化，考查很全面，灵活，属中档题．