Question

19．已知椭圆C中心在原点，左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），右顶点为A（2，0），设点B（3，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P是椭圆C上的动点，求线段PB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，直接写出椭圆方程；
（2）设出P与M点坐标，利用P在椭圆上，M为PB中点，找出中点的坐标与P、B点坐标的关系即可．

解答 解：（1）由题意得：∵$c=\sqrt{3}，a=2∴{b^2}=1$；
根据椭圆的标准式，∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）设P（x，y），M（m，n），
∵P在椭圆C上，所以 $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$   ①；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3+x}{2}}\\{n=\frac{0+y}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=2m-3}\\{y=2n}\end{array}\right.$  ②
将②带入①知：$\frac{（2m-3）^{2}}{4}+（2n）^{2}=1$
故M的轨迹方程为：$\frac{{{{（{2x-3}）}^2}}}{4}+4{y^2}=1$

点评 本题主要考察了椭圆的基本定义，中点坐标公式以及点轨迹方程等知识点，属中等题．