题目内容
不等式a2-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．[-1，4]
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）
【答案】分析：令函数f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-
|，则由题意可得 fmin（x）≥a2-3a．而 fmin（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，故有4≥a2-3a，即（a-4）（a+1）≤0，由此求得
实数a的取值范围
解答：
解：令函数f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-
|，则由不等式a2-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）对任意实数x恒成立，
可得 fmin（x）≥a2-3a．
结合函数f（x）=
的图象，可得
fmin（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，∴4≥a2-3a，即（a-4）（a+1）≤0，解得-1≤a≤4，
故选B．
点评：本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，求出函数f（x）的最小值，是解题的关键和难点，体现了数形结合的数学思想，注意函数f（x）=a|x-m|+b|x-n|，
当a＞b时，f（m）最小，当a＜b时，f（n）最小，当a=b时，f（m）=f（n）最小． 属于中档题．
|，则由题意可得 fmin（x）≥a2-3a．而 fmin（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，故有4≥a2-3a，即（a-4）（a+1）≤0，由此求得实数a的取值范围
解答：
解：令函数f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-
|，则由不等式a2-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）对任意实数x恒成立，可得 fmin（x）≥a2-3a．
结合函数f（x）=
的图象，可得fmin（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，∴4≥a2-3a，即（a-4）（a+1）≤0，解得-1≤a≤4，
故选B．
点评：本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，求出函数f（x）的最小值，是解题的关键和难点，体现了数形结合的数学思想，注意函数f（x）=a|x-m|+b|x-n|，
当a＞b时，f（m）最小，当a＜b时，f（n）最小，当a=b时，f（m）=f（n）最小． 属于中档题．
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