Question

选修4-5：不等式选讲
不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，实数a的取值范围为

-1＜a＜4

．

Answer 1

分析：构造函数f（x）=|x+3|+|x-1|，利用绝对值不等式可求得f（x）_min=4，解不等式a²-3a≤4即可．

解答：解：根据函数y=f（x）=|x+3|+|x-1|的几何意义知：y_min=4．
要使不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，
只需a²-3a≤（|x+3|+|x-1|）_min，
即a²-3a≤4，
解得-1＜a＜4，
所以实数a的取值范围为-1＜a＜4．
故答案为：-1＜a＜4．

点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数及等价转换思想，属于中档题．