Question

（不等式选做题）不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，实数a的取值范围为

[-1，4]

．

Answer 1

分析：令f（x）=|x+3|+|x-1|，依题意，a²-3a≤f（x）_min，由绝对值不等式可知f（x）_min=4，从而解不等式a²-3a≤4即可求得实数a的取值范围．

解答：解：令f（x）=|x+3|+|x-1|，
∵不等式a²-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，
∴a²-3a≤f（x）_min，
又f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-（x-1）|=4，即f（x）_min=4，
∴a²-3a≤4，
解得-1≤a≤4．
∴实数a的取值范围为[-1，4]．
故答案为：[-1，4]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，求得f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值是关键，考查转化思想与解不等式的能力，属于中档题．