Question

（2011•天津模拟）不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（-∞，-1]∪[4，+∞）

B．[-1，4]

C．[1，2]

D．（-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：令函数f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-

4

b

|，则由题意可得 f_min（x）≥a²-3a．而 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，故有4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，由此求得
实数a的取值范围

解答：解：令函数f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-

4

b

|，则由不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）对任意实数x恒成立，
可得 f_min（x）≥a²-3a．
结合函数f（x）=

-(1+b)x+1 ， x≤-3 (1-b)x+7 ， -3＜x≤ 4 b (1+b)x-1 ， x ≥ 4 b

的图象，可得
 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，∴4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，解得-1≤a≤4，
故选B．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，求出函数f（x）的最小值，是解题的关键和难点，体现了数形结合的数学思想，注意函数f（x）=a|x-m|+b|x-n|，
当a＞b时，f（m）最小，当a＜b时，f（n）最小，当a=b时，f（m）=f（n）最小． 属于中档题．