Question

5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=$\frac{1}{2}$AB=1．
（1）求D₁E的中点F到平面ACB₁的距离；
（2）求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

Answer 1

分析 （1）连接AD₁、BC₁，可得四边形AB₁ED₁是平行四边形，即D₁E∥平面ACB₁，可得点F到平面ACB₁的距离等于点E到平面ACB₁的距离，由${V_{E-AC{B_1}}}={V_{A-{B_1}CE}}$，得D₁E的中点F到平面ACB₁的距离．
（2）由已知得，${B_1}{C^2}+{B_1}{E^2}=4=C{E^2}$，则B₁E⊥B₁C，CD⊥B₁E，即B₁E⊥平面DCB₁，又B₁E?平面D₁B₁E，即可得平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

解答 证明：（1）连接AD₁、BC₁，∵$A{D_1}\underline{\underline{∥}}B{C_1}\underline{\underline{∥}}{B_1}E$，
∴四边形AB₁ED₁是平行四边形，
∴D₁E∥AB₁，又AB₁?平面AB₁C，D₁E?平面AB₁C，
∴D₁E∥平面ACB₁，
∴点F到平面ACB₁的距离等于点E到平面ACB₁的距离，由${V_{E-AC{B_1}}}={V_{A-{B_1}CE}}$，
得$\frac{1}{3}{S_{△AC{B_1}}}•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$，又易知${S_{△AC{B_1}}}=\frac{3}{2}$．
∴D₁E的中点F到平面ACB₁的距离为$h=\frac{4}{3}$．
（2）由已知得，${B_1}{C^2}+{B_1}{E^2}=4=C{E^2}$，则B₁E⊥B₁C，
由长方体的特征可知CD⊥平面B₁BCE，
而B₁E?平面B₁BCE，所以CD⊥B₁E，
∴B₁E⊥平面DCB₁，又B₁E?平面D₁B₁E，
∴平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

点评 本题考查了空间线面、面面位置关系，点面距离，属于中档题．