Question

15．如图，四棱锥中P-ABCD，PA⊥平面ABCD，∠PDA=30°，O，E，F分别是AC，AB，PC的中点．
（1）证明；平面EFO∥平面PAD；
（2）证明：FO⊥平面ABCD；
（3）求EF与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理得OE∥AD，OF∥AP，故而平面EFO∥平面PAD；
（2）由FO⊥PA，PA⊥平面ABCD，得出FO⊥平面ABCD；
（3）由OE∥AD，OF∥AP可得∠FEO=∠PDA=30°．

解答 证明：（1）∵O，E，F分别是AC，AB，PC的中点，
∴FO∥PA，EO∥BC，
又BC∥AD，∴EO∥AD，
又OE∩OF=O，PA∩AD=A，
∴平面EFO∥平面PAD．
（2）∵FO⊥PA，PA⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD．
（3）∵FO⊥平面ABCD，
∴∠FEO即为EF与平面ABCD所成的角，
∵OE∥AD，OF∥AP，
∴∠FEO=∠PDA=30°，
即EF与平面ABCD所成角的大小为30°．

点评 本题考查了面面平行的判定，线面垂直的判定，线面角的计算，属于基础题．