在求函数y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}$的最小值时.某同学的做法如下:由基本不等式得y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a．因此函数y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}$的最小值为2-a．若该同学� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

5．在求函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}（a＞0）$的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{（{x}^{2}+a）\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a．
因此函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}$的最小值为2-a．
若该同学的解法正确，则a的取值范围是（0，1]．

分析由不等式求最值等号成立的条件求得a的取值范围．

解答解：∵a＞0，
∴y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{（{x}^{2}+a）\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a，
当且仅当${x}^{2}+a=\frac{1}{{x}^{2}+a}$有实数解时上式等号成立，
则x²+a=1有实数解，即x²=1-a有实数解，
∴1-a≥0，即a≤1，
又a＞0，
∴a的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评本题考查基本不等式，训练了利用基本不等式求最值得方法，关键是明确利用基本不等式求最值的条件，是中档题．

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