Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P（4，0）．
（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；
（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）设Q（x，y），则PQ|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+4x

=

(x-2)2+12

，利用二次函数的单调性即可得出；
（II）设直线l：x=my+4，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

解答： 解：（I）设Q（x，y），则PQ|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+4x

=

(x-2)2+12

，
当x=2时，|PQ|_min=2

3

．
（II）设直线l：x=my+4，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），焦点F（1，0）．
联立

x=my+4 y2=4x

，消去x得y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16．
∴S_△FMN=

1

2

|PF|•|y1-y2|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

×

(4m)2+64

=6

m2+4

=6

5

，
∴m=±1，
∴直线l的方程为：x±y-4=0．

点评：本题考查了二次函数的单调性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．